わかりやすい必要条件と十分条件の見分け方。

数学Ⅰ・Aの中で難しいところといえば、命題のところじゃないだろうか。ここで出てくる必要条件と十分条件を見分けるのは非常に難しいのだ。書いてあることはわかりにくいしイメージがめちゃくちゃしにくい。それで、矢印の向きによって答えが変わってしまうものだから、忘れてしまうと答えられなくなるし、何より忘れやすい。

今回紹介する考え方を知っておけば、忘れることはほぼ無いと思ってもらっていいだろう。「必要十分ってあれだよね。」となってもらえることが理想だ。

定義を確認してみる。

必要条件と十分条件の定義

• ｐ→ｑが真ならば、ｐはｑの十分条件
• ｐ←ｑが真ならば、ｐはｑの必要条件

もう何がなんだかさっぱりだ。こんなことでは覚えることができない。そもそもの問題は真か偽かのところからすでにわかりにくいということだ。

したがって、まず真か偽かを確認しよう。

命題の真偽

• PがQの部分集合であるとき、p→ｑは真

これもわかりにくい。

部分集合という言葉がそもそも聞き慣れないので、真か偽かを考える前に脳がストップをしてしまう。これでは問題が解けない。

わかりやすいイメージ。

そこでわかりやすい方法を紹介する。

必要なイメージは子どものおもちゃだ。型はめボックスというのを想像してほしい。型に合うブロックをはめていくものだが、それとこの必要十分の考え方はピッタリと合う。

手持ちがすべて入れば真、入らなければ偽である。

手持ちのブロックがｐ、型がある箱がｑとする。

手持ちがすべて入れば真、入らなければ偽ということだ。以上で終了である。

想像してほしい。小さい子供がすべてのブロックを箱に入れるのを。

箱に全て入るならば、それは正しいということだ。入らないのであれば、何処かが間違っているということにほかならない。つまり、偽であることがわかる。

そして、この考え方のいいところは、偽になったとき手持ちの入らなかったものが反例になるということもセットで覚えることができる。

イメージから考える必要条件と十分条件の見分け方

この型はめボックスで遊ぶには、ブロックと型があっていなければいけない。つまり、ブロックがすべて型に入るように作られているならば、それで十分だ。そのときに、箱の方は必ず必要になるよね。

という考え方だ。このとき、ブロックにない型があったとしても手持ちはすべて入ってしまうので、遊ぶのに全く問題ないということがわかる。

• 手持ちのブロック　十分条件
• 型が空いているボックス　必要条件

まとめ

それでもわかりにくいときは、動物と犬を考えてみたらいい。

犬は動物の十分条件で、動物は犬の必要条件だ。

必要条件の方が広いと思っておいて間違いない。